Re: gain scheduling av h-inf mm

Message-Id: <20030521172419.50EE0AC70@falk.itk.ntnu.no>
Date: Wed, 21 May 2003 19:24:19 +0200 (CEST)
From: mhovd@falk.itk.ntnu.no (WWW daemon apache)

Guttorm,

som jeg vel tidligere indikerte, saa er det Ian Postlethwaite (Skogestads
medforfatter) som virkelig kan disse tingene. Det greieste hadde kanskje
vaert om
du kunne faa hans e-mail adresse fra Sigurd, og spoerre han direkte. Jeg skal
likevel proeve aa gi noe input...

Jeg har ikke vaert i stand til aa se paa Walkers paper, har bare tilgang paa
elektronisk versjon av International Journal of COntrol fra 1997 av.

Mine forsoek paa svar finner du nedenfor.

Mvh
Morten

---- Original Message ----
From: Guttorm Torsetnes
Date: Wed 5/21/03 13:23
To: Morten Hovd
Subject: gain scheduling av h-inf mm

Hei

Jeg har enda noen spørsmål ang. h-inf regulering som jeg lurer på om du
har mulighet til å svare på. Det gjelder først og fremst
observerstruktur av h-inf regulatorer og gain schduling:

1) Viser til ligning (9.98 )s. 392. Walker har vist at en 2DOF h-inf
loop-shaping controller har en observer struktur, og eksistensen kun
avhenger av denne ligningen. Nederst på s.392 står det " Notice that this
h-inf controller depends on the solution of just one algebraic Riccati
equation, not two."
Mitt spørsmål er: Er det slik å forstå at denne regulatoren kan beregnes
bare ved å løse 1 Riccati-lignig?
Hvis dette er tilfelle lurer jeg på følgende: I ligning (9.99) s.392
inngår transp(B). Forstår det slik at B=[B1 B2] i ligning (9.97) s.391 som
beskriver P. Men i B1 inngår jo Zs som er løsningen av den generaliserte
Riccati ligningen i ligning (9.67). Dvs hvis B=[B1 B2] må man tross alt
løse 2 Riccati-ligninger. Hva er det som ikke stemmer her?

--- Det ser ut som du har rett. Du maa foerst loese 9.67 for aa faa
Z_s. Riktignok
er dette en ligning av lavere dimensjon, som skulle vaere enklere aa loese,
men du
maa formodentlig loese den for hver verdi av gain scheduling parameteren
som du er
interessert i. Av fig. 9.23 gaar det jo fram at 'the shaped plant'
forutsettes
(selvsagt) aa avhenge av gain scheduling parameteren, og man maa dersor
forvente at
Zs ogsaa vil avhenge av denne. I det minste avhenger ikke Zs av gamma.

Uansett antall Riccati-ligniger som må løses, så lurer jeg på følgende:
Hvordan kan man løse ligning (9.98) på en fornuftig måte?
I denne Riccati-ligningen inngår jo parameteren gamma, og man må bruke
gamma-iterasjon for å finne en optimal løsning. Finnes det noen rutiner i
Matlab som kan løse Riccati-ligninger med en variabel parameter som man
ønsker å minimalisere?

--- Vanlig H_uendelig syntese gjoer jo forsaavidt det, men det er jo ikke
det du vil
gjoere. Likevel, en en-dimensjonal iterasjon burde ikke vaere vanskelig aa
programmere i Matlab (for offline beregninger, i det minste). Du har jo en
nedre
grense for gamma fra (i) (s392), denne maa oekes til du kan oppfylle (ii).

Dernest har jeg et spørsmål angående gain scheduling/observersturktur av
1DOF h-inf regulatorer. Viser til side 392 i "Multivariable feedback
control," figur 9.23 -H_inf gain scheduling. Det jeg lurer på er hva
matrisen Wi(v) som multipliseres med referansen er for noe. Hvordan kan
jeg beregne Wi?
(Trodde Wi tilsvarte -Ks(0)W2(0) jmf figur 9.19 s. 384, men det stemmer
tydligvis ikke.)

--- Se Remark 3/Ligning (9.89).

Så har jeg et spørsmål angående utgangsskalering. På s. 383 står det:
"The outputs are scaled such that equal magnitudes of cross-coupling into
each of the outputs is equally undesirable." Skjønner ikke hvordan man kan
gjøre dette. Kan du vennligst forklare meg hvordan dette kan gjøres?

--- Skaleringen skje ved aa pre-multiplisere G (C og D i en tilstandsrom-
representasjon) med en diagonal matrise. Ett av diagonalelementene i
skaleringsmatrisa kan laases til 1. HVILKEN skalering du boer bruke er helt
problemavhengig, her maa du bruke din problemforstaaelse. Kommentar (a)
paa side
383 indikerer vel at du boer se paa
    i) sprang 0-1 i paadrag 1, se paa responsen i paadrag 2
    ii) sprang 0-1 i paadrag 2, se paa responsen i paadrag 1
Skaleringen boer soerge for at "like alvorlige" kryss-responser gir omtrent
samme
numeriske verdi i den skalerte modellen (merk at sprang 0-1 i paadragene ogsaa
forutsetter en eller annen fornuftig skalering av paadragene, f.eks. samme
fraksjon
av forventet operasjonsomrade).

Mitt siste spørsmål gjelder referansen til "The align algorithm of
Kouvaritakis (1974)" nederst på s.383. Denne algoritmen beregner en
approksimasjon til den inverse av systemet ved en gitt frekvens. Kjenner
du til denne algoritmen, eller vet du hvordan den kan implementeres?
(Den eksistere ikke i matlab som en egen funksjon som angitt i boka.)
Hvordan kan jeg beregne en approksimasjon til den inverse av et ustabilt
system ved en gitt frekvens?

--- Jeg har faktisk sett etter denne selv uten aa finne den. Jeg har aldri
sett
eller hoert om Multivariable Frequency Domain Toolbox noen andre steder,
kanskje du
kan soeke paa web. Gaar ellers ut fra at Postlethwaite kan sende en
versjon (jeg
har selv hoert ham paastaa at den finnes i Matlab). Ellers, saa mener jeg
aa ha
sett metoden nevnt i en bok av Hung og MacFarlane (Springer Verlag, ca.
1980), som
boer finnes baade paa Kyb og i Skogestads prosessreguleringsbibliotek. Denne
beskrivelsen er imidlertid ikke helt enkel aa foelge (eller kjenne igjen).

Håper du har tid til å svare meg, da det er få eller ingen her som kan
det, og da det er liten tid igjen av semesteret.
På forhånd takk.

Med vennlig hilsen
Guttorm Torsetnes
Received on Thu May 22 06:50:48 2003